Blog, Giáo dục

Các bất đẳng thức lớp 8 – Đầy đủ, chi tiết

Posted on by vantuongthang
Các bất đẳng thức lớp 8
18
Th7

Chào mừng các bạn học sinh lớp 8 đến với thế giới kỳ diệu của bất đẳng thức! Trong chương trình Toán học lớp 8, bất đẳng thức là một chủ đề quan trọng, mở ra nhiều cánh cửa để giải quyết các bài toán phức tạp và rèn luyện tư duy logic. Hôm nay, Phan Rang Soft sẽ cùng các bạn khám phá những bất đẳng thức cơ bản và hữu ích nhất, giúp các bạn tự tin chinh phục mọi bài toán. Đừng quên ghé thăm website Phan Rang Soft để khám phá thêm nhiều kiến thức bổ ích nhé! (Xem thêm: Các bài viết giáo dục khác)

1. Khái niệm cơ bản về Bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một biểu thức toán học thể hiện mối quan hệ “lớn hơn” (>), “bé hơn” (<), “lớn hơn hoặc bằng” (≥), hoặc “bé hơn hoặc bằng” (≤) giữa hai số hoặc hai biểu thức. Khác với phương trình, bất đẳng thức không chỉ xác định một giá trị cụ thể mà xác định một khoảng giá trị.

Ví dụ:

  • a > b (a lớn hơn b)
  • x < y (x bé hơn y)
  • m ≥ n (m lớn hơn hoặc bằng n)
  • p ≤ q (p bé hơn hoặc bằng q)

Các quy tắc biến đổi bất đẳng thức cũng tương tự như phương trình, nhưng cần lưu ý một số điểm quan trọng:

  1. Khi cộng (hoặc trừ) cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số, chiều của bất đẳng thức không đổi.
  2. Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, chiều của bất đẳng thức không đổi.
  3. Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm, chiều của bất đẳng thức đổi chiều. Ví dụ: a > b thì -a < -b.

Các bất đẳng thức lớp 8
Các bất đẳng thức lớp 8

2. Các Bất đẳng thức quan trọng trong chương trình lớp 8

Trong chương trình Toán lớp 8, chúng ta sẽ làm quen với một số bất đẳng thức quan trọng, thường được sử dụng để giải các bài toán chứng minh và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

2.1. Bất đẳng thức tam giác

Bất đẳng thức tam giác là một trong những bất đẳng thức cơ bản nhất, nói rằng tổng độ dài hai cạnh bất kỳ của một tam giác luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta có:

  • a + b > c
  • a + c > b
  • b + c > a

Ví dụ:

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 8cm. Hỏi AC có thể nhận giá trị nào?

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

  • AB + BC > AC => 5 + 8 > AC => AC < 13
  • AB + AC > BC => 5 + AC > 8 => AC > 3
  • BC + AC > AB => 8 + AC > 5 (luôn đúng vì AC > 0)

Vậy 3 < AC < 13.

2.2. Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số không âm

Bất đẳng thức Cauchy (hay còn gọi là AM-GM – Arithmetic Mean – Geometric Mean) cho hai số không âm a và b, phát biểu rằng trung bình cộng của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng:

(a + b)/2 ≥ √(ab)

Dấu bằng xảy ra khi a = b.

Ví dụ:

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, ta có x + 1/x ≥ 2.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x và 1/x, ta có:

(x + 1/x)/2 ≥ √(x * 1/x) = √1 = 1

=> x + 1/x ≥ 2.

Dấu bằng xảy ra khi x = 1/x => x2 = 1 => x = 1 (vì x > 0).

2.3. Bất đẳng thức trị tuyệt đối

Bất đẳng thức trị tuyệt đối là một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán liên quan đến giá trị tuyệt đối. Một số bất đẳng thức trị tuyệt đối quan trọng:

  • |a + b| ≤ |a| + |b| (Bất đẳng thức tam giác cho trị tuyệt đối)
  • |a – b| ≥ | |a| – |b| |

Ví dụ:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x – 1| + |x – 2|.

Áp dụng bất đẳng thức |a + b| ≤ |a| + |b|, ta có:

A = |x – 1| + |2 – x| ≥ |(x – 1) + (2 – x)| = |1| = 1

Dấu bằng xảy ra khi (x – 1)(2 – x) ≥ 0 => 1 ≤ x ≤ 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1, đạt được khi 1 ≤ x ≤ 2.

3. Bài tập áp dụng

  1. Cho tam giác ABC có AB = 7cm, BC = 10cm. Tìm khoảng giá trị của cạnh AC.
  2. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a và b, ta có (a + b)2 ≥ 4ab.
  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 + 2/x, với x > 0. (Gợi ý: sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số).
  4. Giải bất đẳng thức: |x – 3| < 5.
  5. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, ta có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca.

4. Mẹo giải bài tập Bất đẳng thức

  • Nắm vững lý thuyết: Hiểu rõ định nghĩa, tính chất của các bất đẳng thức cơ bản.
  • Nhận diện dạng toán: Xác định xem bài toán thuộc dạng nào (chứng minh, tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, giải bất đẳng thức…) để áp dụng phương pháp phù hợp.
  • Sử dụng các kỹ thuật biến đổi: Biến đổi bất đẳng thức về dạng quen thuộc hoặc áp dụng các bất đẳng thức đã biết.
  • Tìm điểm rơi: Trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, cần xác định điều kiện để dấu bằng xảy ra (điểm rơi).
  • Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng toán.

5. Tổng kết

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về bất đẳng thức trong chương trình Toán lớp 8. Hãy luyện tập thật nhiều để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán. Đừng quên ghé thăm Phan Rang Soft thường xuyên để cập nhật những kiến thức mới nhất và các tài liệu học tập bổ ích. Chúc các bạn học tốt!

Liên hệ với Phan Rang Soft để được hỗ trợ tốt nhất:

Hotline: 0865.427.637

Zalo: https://zalo.me/0865427637

Email: phanrangninhthuansoft@gmail.com

Pinterest: https://in.pinterest.com/phanrangsoftvn/

Facebook: https://www.facebook.com/phanrangsoft/

X: https://x.com/phanrangsoft

Website: https://phanrangsoft.com/